Ví dụ một lò xo khi bị kéo (hay nén) một khoảng y khỏi vị trí cân bằng sẽ sinh ra lực đàn hồi khiến lò xo quay trở về vị trí cân bằng:

F = − k y {\displaystyle F=-ky\,}

với k là hệ số đàn hồi của lò xo.

Lực này gây nên gia tốc chuyển động a cho vật thể khối lượng m treo trên lò xo

F = m a {\displaystyle F=ma\,}

Do đó:

m a = − k y {\displaystyle ma=-ky\,} m d 2 y d t 2 = − k y {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}=-ky} ( 1 ) {\displaystyle (1)\,}

( 1 ) {\displaystyle (1)\,} có phương trình đặc trưng u 2 = − k m = − ω 2 {\displaystyle u^{2}=-{\frac {k}{m}}=-\omega ^{2}\,}

Có nghiệm phức u = ± ω i {\displaystyle u=\pm \omega i\,}

Từ công thức nghiệm tổng quát: y ( t ) = e α t ( c 1 cos ⁡ ( β t ) + c 2 sin ⁡ ( β t ) ) {\displaystyle y(t)=e^{\alpha t}\left(c_{1}\cos \left(\beta t\right)+c_{2}\sin \left(\beta t\right)\right)\,} (với α {\displaystyle \alpha \,} là phần thực, β {\displaystyle \beta \,} là phần ảo của nghiệm phức).

Tìm được một nghiệm đơn giản của phương trình trên

y ( t ) = c 1 cos ⁡ ( ω t ) + c 2 sin ⁡ ( ω t ) = c 1 2 + c 2 2 ( c 1 c 1 2 + c 2 2 cos ⁡ ( ω t ) + c 2 c 1 2 + c 2 2 sin ⁡ ( ω t ) ) {\displaystyle y(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right)={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}}\left({\frac {c_{1}}{\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}}}\cos \left(\omega t\right)+{\frac {c_{2}}{\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}}}\sin \left(\omega t\right)\right)} = A cos ⁡ ( ω t + φ ) {\displaystyle =A\cos \left(\omega t+\varphi \right)\,}

với

ω = k m , {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}},} A = c 1 2 + c 2 2 , {\displaystyle A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}},} tan ⁡ φ = ( c 2 c 1 ) , {\displaystyle \tan \varphi =\left({\frac {c_{2}}{c_{1}}}\right),}

ở đây:

c 1 {\displaystyle c_{1}\,} và c 2 {\displaystyle c_{2}\,} là hai hằng số được xác định bằng các điều kiện ban đầu của lò xo. A {\displaystyle A\,} là li độ cực đại, ω {\displaystyle \omega \,} là tần số góc, φ {\displaystyle \varphi \,} là pha ban đầu.

Vận tốc và gia tốc của vật thể dao động điều hòa được tính bằng đạo hàm bậc nhất và bậc hai của li độ:

v ( t ) = d y d t = − A ω sin ⁡ ( ω t + φ ) , {\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t+\varphi ),} a ( t ) = d 2 y d t 2 = − A ω 2 cos ⁡ ( ω t + φ ) . {\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t+\varphi ).}